Question

（6分）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

 

 

Answer 1

证明见试题解析．

【解析】

试题分析：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，求出BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．

试题解析：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，

∵AD是中线，∴BD=DC，

在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，

∴BF=CG，∠BFD=∠G，

∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，

∵BF=CG，BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．

考点：全等三角形的判定与性质．