Question

【题目】已知抛物线与轴交于和两点，与轴正半轴交于点，若的面积，

（1）求抛物线的对称轴及解析式．

（2）若为对称轴上一点，且，以、为顶点作正方形（、、、顺时针排列），若正方形有两个顶点在抛物线上，求的值．

（3）如图，、两点关于对称轴对称，一次函数过点，且与抛物线只有唯一一个公共点，平移直线交抛物线于、两点（点在点上方），请你猜想与的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）对称轴是直线，；（2）或；（3）或，证明见解析

【解析】

（1）根据对称轴公式可求得对称轴，由面积以及点的坐标可求得抛物线解析式；

（2）分情况讨论，设P（1，n），根据旋转的性质可以得到D，E点坐标，代入解析式即可求得n值；

（3）分情况讨论，求出关于D点的切线方程，平移切线与抛物线联立，可得关于交点的坐标关系式，利用直角三角形性质即可求得角度之间关系．

（1）解：对称轴为直线，

∵，，

∴，即，，

由面积，得，

∴，

、代入可得；，

即抛物线解析式为；；

（2）解：由题意知，

①如左图， 过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，

设D点坐标为（a，b）,由旋转90°可得△CMP≌△DNP，

∴CM=DN，PM=PN，

∴，，

∴，，

∴，

将D点代入，

∴，解得或4（舍），

②如图，

同理可求得，

代入抛物线解析式，，

解得（舍去）或，

∴或；

（3）①若点在左侧，，理由如下

易知D（2,3），过点的抛物线的切线为，

设平移后的解析式为，

与抛物线联立得：，

，，

∴；

②若点在右侧，，理由如下

同理可得，

所以，

综上所述，或．