Question

如图1，已知菱形ABCD的边长为2，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．

点D的坐标为（，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜）

①当t=1时，△ADF与△DEF是否相似？请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

Answer 1

解：（1）由题意得AB的中点坐标为（﹣，0），

CD的中点坐标为（0，3）， …………………………2分

分别代入y=ax²+b得

，解得，，

∴y=﹣x²+3．      ……………………………3分                               

（2）①如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

 

 

∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°

∴EC=BC=，DE=……………………………4分

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分

∵t=1,

∴B点为(1,0)

∴F(1,2) ,E(1,3)

∴EF=1        ……………………………6分

 在Rt△DEF中

tan∠EDF=

∴∠EDF=30⁰

∴∠ADF=∠ADC—∠EDF=120⁰—30⁰=90⁰

∴∠ADF=∠DEF

∴DF=2EF=2……………………………7分

又∵,

∴

∴△ADF∽△DEF……………………………8分

②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．

∵F（t，3﹣t²），∴EF=3﹣（3﹣t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，

由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤．

∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t﹣，

∴MN=3﹣（t﹣）²，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t²，

由MN≥C′N，得3﹣（t﹣）²≥3﹣2t²，解得t≥．

∴t的取值范围为：．……………………………11分