Question

如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（- ，3），抛物线y=ax²+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）

①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

Answer 1

解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），

  分别代入y=ax²+b，得，解得， 。

∴这条抛物线的函数解析式为y=－x²＋3。                                    

（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC= ，

∴ 。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。                               

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。

（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。

在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。

又∵E（t，3），F（t，－t²+3），∴EF=3－（－t²＋3）=t²。∴t²=1。

∵t＞0，∴t=1 。                                   

此时，∴。

又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。                                 

（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。

设EF=m，则FB=3－m。

∴ ，即m²－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。                                       

（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。                             

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。

②。