Question

如图，点A是反比例函数y=

k

x

(k＜0)y上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为（-1，m）．
（1）求k和m的值．
（2）若直线y=ax+3经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积．
（3）指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果．
（4）在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式即可．
（2）将△AOC分成△AOM和COM两部分进行求解．先根据直线AC的解析式经过点A求出a的值，再求出M的坐标，即可得出OM的长，然后根据A、C的纵坐标即可求出△AOC的面积；
（3）由图象，根据A、C的横坐标即可得出答案．
（4）假设存在，设P（0，c），由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC即可求解．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，OB=1，S_△OAB=2，∴AB=4，
即A（-1，4），∴m=4，把A（-1，4）代入反比例函数y=

k

x

(k＜0)
∴k=-4，
即m=4，k=-4．

（2）根据y=ax+3经过点A（-1，4），∴4=-a+3，∴a=-1，
则根据若直线y=-x+3经过点A，交另一支双曲线于点C，解得：C（4，-1），
设直线AC与x轴交于点M，则M（3，0），
∴OM=3，∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OCM=

1

2

×3×4+

1

2

×3×1=

15

2

，

（3）由图象知，当-1＜x＜4时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（4）假设存在，设P（0，c），直线AC与y轴交于点N，则N（0，3），
∴由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC=

1

2

×|c-3|×1+

1

2

×|c-3|×4=6，
解得：c=

3

5

或c=

27

5

，即P（0，

3

5

）或P（0，

27

5

），
故存在P使△PAC的面积为6．

点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力，难度较大，关键掌握用待定系数法解函数的解析式．