Question

如图，直线y=kx-2与x轴、y轴分别交于B、C两点，OB：OC=

1

2

．
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-2上的一个动点，当点A运动过程中，
①试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
②探索：当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
③在②成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直线y=kx-2与y轴的交点，则OC的长度即可求解，进而求得B的坐标，把B的坐标代入解析式即可求得k的值；
（2）①、②根据三角形的面积公式即可求解；
③分O，P，A分别是等腰三角形的顶角顶点三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）在y=kx-2中，令x=0，则y=-2，故C的坐标是（0，-2），OC=2，
∵OB：OC=

1

2

，
∴OB=1，则B（1，0），
把点B的坐标代入y=kx-2，得
k-2=0，
解得：k=2；
综上所述，B的坐标是（1，0），k=2；

（2）①OB=1，
则S=

1

2

•OB•y_A=

1

2

×1×（2x-2）=x-1，即S=x-1

②根据题意得：

1

2

•OB•y_A=1，即

1

2

×1×（2x-2）=1，
解得，x=2，则A的坐标是（2，2）；

③存在这样的点P．理由如下：
由②知，A的坐标是（2，2），则OA=

22+22

=2

2

．
i）如图1，当O是△AOP的顶角顶点时（OA=OP），P的坐标是（-2

2

，0）或（2

2

，0）；
ii）当A是△AOP的顶角顶点时（AO=AP），P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（4，0）；
iii）当P是△AOP的顶角顶点时（PA=PO），设P（x，0），则
x=

(x-2)2+22

，
解得，x=2，
则P（2，0）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：（-2

2

，0）或（2

2

，0）或（4，0）或（4，0）．

点评：本题考查了一次函数与等腰三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确进行讨论是关键．