题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，O是对角线BD的中点，点P在边AB上，连接PO并延长交边CD于点E，交边BC的延长线于点Q．（1）求证：OP=OE；
（2）设BP=x，CQ=y，求y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
分析：（1）根据OB=OD，可证△OBP≌△ODE，从而证明OP=OE；
（2）由AB∥CD，可得△QEC∽△QPB，得
=
，即
=
，从而求出x、y的关系式．
（2）由AB∥CD，可得△QEC∽△QPB，得
| EC |
| PB |
| QC |
| QB |
| 4-x |
| x |
| y |
| y+3 |
解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠PBO=∠EDO，
∵OB=OD，∠POB=∠EOD，
∴△OBP≌△ODE（ASA），
∴OP=OE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴
=
，即
=
，
∴y=
，
自变量的取值范围0＜x＜4，且x≠2．
∴∠PBO=∠EDO，
∵OB=OD，∠POB=∠EOD，
∴△OBP≌△ODE（ASA），
∴OP=OE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴
| EC |
| PB |
| QC |
| QB |
| 4-x |
| x |
| y |
| y+3 |
∴y=
| 3x-12 |
| 4-2x |
自变量的取值范围0＜x＜4，且x≠2．
点评：本题考查了三角形全等的证明方法以及相似三角形的判定和性质，与函数问题的综合题目，难度较大．
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．
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