Question

【题目】已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2BEtan2α；（3）sin（45°﹣α）．

【解析】

(1)由翻折可知：BE＝EB′，再利用全等三角形的性质证明CD＝BB′即可；

(2) 如图 2 中， 结论：CD＝2BEtan2α．只要证明△BAB′∽△CAD，可得，推出，可得CD＝2BEtan2α；

(3) 首先证明∠ECF＝90°，由∠BEC+∠ECF＝180°，推出BB′∥CF，推出sin(45°﹣α)，由此即可解决问题.

(1)如图1中，

∵B、B′关于EC对称，

∴BB′⊥EC，BE＝EB′，

∴∠DEB＝∠DAC＝90°，

∵∠EDB＝∠ADC，

∴∠DBE＝∠ACD，

∵AB＝AC，∠BAB′＝∠DAC＝90°，

∴△BAB′≌CAD，

∴CD＝BB′＝2BE；

(2)如图2中，结论：CD＝2BEtan2α，

理由：由(1)可知：∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，

∴△BAB′∽△CAD，

∴，

∴，

∴CD＝2BEtan2α；

(3)如图 3中．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°﹣2α，

∵EC平分∠ACB，

∴∠ECB(90°﹣2α)＝45°﹣α，

∵∠BCF＝45°+α，

∴∠ECF＝45°﹣α+45°+α＝90°，

∴∠BEC+∠ECF＝180°，

∴BB′∥CF，

∴sin(45°﹣α)．

∵，

∴sin(45°﹣α)．