Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止，设运动时间为，过点作轴的垂线，交直线于点, 交抛物线于点．连接，是线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得线段．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，当为何值时，面积有最大值，最大值是多少？

（3）当为何值时，点落在抛物线上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，面积的最大值为16；（3）

【解析】

（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，然后根据点P的坐标表示出Q,D的坐标，进一步表示出QD的长度，从而利用面积公式表示出的面积，最后利用二次函数的性质求最大值即可；

（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，首先证明≌，得到，然后得到点N的坐标，将点N的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范围．

（1）∵抛物线过点，

∴解得

所以抛物线的解析式为： ；

（2）设直线AB的解析式为 ，

将代入解析式中得,

解得

∴直线AB解析式为 ．

∵，

，

∴，

∴，

∴当时，面积的最大值为16 ；

（3）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，

．

在和中， ，

∴≌，

∴．

∵，

．

当点落在抛物线上时，.

∴,

，

∴ ．