Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx经过原点O和点A（12，0），在B在抛物线上，已知OB⊥BA，且∠A＝30°．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）如图2，点P为OB延长线上一点，若连接AP交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，点M的横坐标为m，试用含有t的代数式表示m，不要求写取值范围．

（3）在（2）的条件下，过点O作OW⊥AP于W，并交线段AB于点G，过点W的直线交OP延长线于点N，交x轴于点K，若∠WKA＝2∠OAP，且NK＝11，求点M的横坐标及WG的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）m＝；（3）M点的横坐标为，WG＝

【解析】

（1）求出点B的坐标，将A，B两点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx即可得解；

（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点M作MQ⊥OA于点Q，P(t，t)，M(m，﹣)，由PH∥MQ可得，则可得出答案；

（3）取OA的中点R，连结WR，证得WR＝WK，求出WN＝11﹣6＝5，可证明∠POW＝2∠N，取OP的中点，连结TW，证得∠N＝∠NTW，求出OP＝10，可求出t，m的值，求出tan，则OW＝12×，可求出OG的长，则答案可求出．

解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，

∵A(12，0)，

∴OA＝12，

∵∠A＝30°，

∴OB=6，

∴AB=6，

∴，

∴B(3，3)，

∵抛物线y＝ax2+bx经过点B(3，3)和点A(12，0)，

∴，

解得，

∴y＝﹣；

（2）过点P作PH⊥OA于点H，过点M作MQ⊥OA于点Q，P(t，t)，M(m，﹣)，

∵PH//MQ，

∴∠APH=∠AMQ，

∵∠AHP=∠AQM=90°，

∴△APH∽△AMQ，

∴，

∴，

∴，

∴，

即m＝；

（3）取OA的中点R，连结WR，

∵OW⊥AP，

∴WR＝RA＝OR，

∴∠OAP＝∠RWA，

∴∠ORW＝2∠OAP，

∵∠WKA＝2∠OAP，

∴∠ORW＝∠WKA，

∴∠WRK＝∠WKO，

∴WR＝WK，

∴，

∴NW＝NK﹣WK＝11﹣6＝5，

∵∠POW＝∠BAW＝∠OAP﹣∠OAB＝α﹣30°，

∠N＝∠AKW﹣∠AOB＝2α﹣60°，

∴∠POW＝2∠N，

取OP的中点，连结TW，

∴∠N＝∠NTW，

∴，

∴OP＝10，

∴t2+3t2＝100，

∴t＝5，

∴＝．

即M点的横坐标为．

∴点P到x轴的距离是5，

∴tan，

∴OW：AW：OA＝5：7：2，

∴OW＝12×，

又∵，，OA＝12，

∴＝，

∴WG＝．