Question

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是______．
（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出；
（3）请对（2）中你所给的结论进行证明．

Answer 1

解：（1）过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值．
∵正方形ABCD的边长是4，
∴AD=4，∠DAC=45°，
在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4，
∴DF=AD•sin45°=4×=．
故答案为；

（2）如图1，过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AE的交点即为点Q，过点Q作QP⊥AD，垂足即为点P；

（3）∵AE平分∠DAC，Q为AE上的点，且QF⊥AC于点F，QP⊥AD于点P，
∴QP=QF（角平分线性质定理），
∴PQ+DQ=FQ+DQ=DF=．
下面证明此时的PQ+DQ为最小值：
在AE上取异于Q的另一点Q₁，如图2．
①过Q₁点作Q₁F₁⊥AC于点F₁，
过Q₁点作Q₁P₁⊥AD于点P₁，
则P₁Q₁+DQ₁=F₁Q₁+DQ₁，
由垂线段最短，可得F₁Q₁+DQ₁＞FQ+DQ，
即P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ；
②若P₂是AD上异于P₁的任一点，
可知斜线段P₂Q₁＞垂线段P₁Q₁，
∴P₂Q₁+DQ₁＞P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ．
从而可得此处PQ+DQ的值最小．
分析：（1）过点D作DF⊥AC，垂足为F，则DF即为PQ+DQ的最小值，在直角△ADF中利用正弦三角函数即可求解；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，DF与AE的交点即为点Q，过点Q作QP⊥AD，垂足即为点P；
（3）首先证明PQ+DQ=DF，然后分两种情况证明（2）中的PQ+DQ为最小值：在AE上取异于Q的另一点Q₁．①过Q₁点作Q₁F₁⊥AC于点F₁，根据垂线段最短证明P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ；②若P₂是AD上异于P₁的任一点，根据垂线段最短得出P₂Q₁+DQ₁＞P₁Q₁+DQ₁＞PQ+DQ．
点评：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．