Question

已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是______；
如图2，若OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是______；


（2）当∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转180°，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，在旋转过程中，发现∠MON的度数保持不变．
①∠MON的度数是______；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．

Answer 1

解：（1）∵点O、A、C在同一条直线上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴=
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°

（2）①∠MON=60°
②图4证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
==
=60°
图5证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=
=
=60°．
分析：（1）根据角的计算法则即可求出∠BOD的度数，根据角的平分线定义可得，根据角的计算可求出∠AOC的度数．
（2），，再根据角的计算进行转换即可求出∠MON的度数．
点评：本题考查了角平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOC，∠BOD和∠BOC的关系，然后计算即可．