Question

【题目】以的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：

如图中四边形是什么四边形？并说明理由．

当满足什么条件时，四边形是矩形？

当满足什么条件时，四边形是正方形？

Answer 1

【答案】四边形是平行四边形，理由见解析；当时，平行四边形是矩形；当且时，四边形是正方形．

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．

图中四边形是平行四边形．理由如下：

∵四边形、四边形、四边形都是正方形，

∴，，，．

∴（同为的余角）．

在和中，

，

∴，

∴，．

∵是正方形的对角线，

∴．

∵，

∴

∴，

∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）．

当四边形是矩形时，．

则，

即当时，平行四边形是矩形；

当四边形是正方形时，，且．

由知，当时，．

∵四边形是正方形，

∴．

又∵四边形是正方形，

∴，

∴．

∴当且时，四边形是正方形．