Question

【题目】如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．

（1）若，则的度数是 ；

（2）连接，若，的周长是．

①求的长；

②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）50° （2）① 6cm；②存在点P，点P与点M重合，△PBC周长的最小值为

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根据三角形内角和定理求得∠NMA＝50°;

（2）①根据线段垂直平分线可得AM＝BM，根据△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；

②根据对称轴的性质可知，M点就是点P所在的位置，△PBC的周长最小值就是△MBC的周长．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠A＝180°－70°－70°＝40°

∵MN垂直平分AB交AB于N

∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，

在△AMN中，

∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；

（2）①如图所示，连接MB，

∵MN垂直平分AB交于AB于N

∴AM＝BM，

∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝

又∵AB＝AC＝8cm，

∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；

②如图所示，

∵MN垂直平分AB，

∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；

∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，

∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝．