Question

【题目】如图，△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D为边AB上一动点（不与A、B重合），⊙D与BC切于E点，E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上，则BD=______．

Answer 1

【答案】或；

【解析】

分为当E点关于CD的对称点F在AB或者AC上进行讨论：

①当F在AB边上时，根据对称性得出CE=CF，DE=DF，作，则 ,设，则，，在直角三角形CHF中，用勾股定理解出即可得出答案；

②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时D在AB的中点，从而求解．

解：①当F在AB边上时，作，连接DF、CF，如图：

根据对称性知：CE=CF，DE=DF

又∵AC=BC=4，∠ACB=90°

∴ ,△DEB是等腰直角三角形

设，则，

∴

在直角三角形CHF中：

即： 解得：

∴

②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时此时D在AB的中点，如图：

∴

故答案为：或