Question

直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．
（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．
（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．

Answer 1

（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．
∵∠DMC=45°，∠C=90°
∴CM=CD，
又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，
∴四边形ABCF为正方形，
∴BC=CF，
∴BM=DF，
在Rt△ABM和Rt△AFD中，
，
∴△ABM≌△AFD（SAS），
∴AD=AM．

（2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AF重合，得Rt△AFN．
∵∠DAM=45°，
∴∠BAM+∠DAF=45°，
由旋转知∠BAM=∠NAF，
∴∠DAF+∠NAF=45°，
即∠DAM=∠DAN，
由旋转知AM=AN，
∴△ADM≌△ADN，
∴DM=DN，
设BM=x，
∵AB=BC=CF=7，
∴CM=7-x
又∵CD=4，
∴DF=3，BM=FN=x，
∴MD=DN=3+x，
在Rt△CDM中，（7-x）²+4²=（3+x）²，
解得：x=．
∴BM的值为．
答：BM的值为．
分析：（1）作AF⊥CD交延长线于点F，根据∠DMC=45°，∠C=90°，得到∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，推出正方形ABCF，根据正方形的性质得到BC=CF，进一步证出△ABM≌△AFD，即可得到答案；
（2）把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AF重合，得Rt△AFN，由已知∠DAM=45°和旋转，推出∠DAM=∠DAN，得到△ADM≌△ADN，设BM=x，得到CM=7-x，BM=FN=x，MD=DN=3+x，在Rt△CDM中，根据勾股定理即可求出答案．
点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，勾股定理，垂线，旋转的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．