题目内容
（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
【答案】分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）因为P（-1，-2）为双曲线Y=
上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，
将点M（-2，-1）坐标代入得k=
，所以正比例函数解析式为y=
x，
同样可得，反比例函数解析式为
；
（2）当点Q在直线OM上运动时，
设点Q的坐标为Q（m，
m），
于是S△OBQ=
OB•BQ=
×
m×m=
m2，
而S△OAP=
|（-1）×（-2）|=1，
所以有，
m2=1，解得m=±2，
所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（-2，-1）；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，
），
由勾股定理可得OQ2=n2+
=（n-
）2+4，
所以当（n-
）2=0即n-
=0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=
，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（
+2）=2
+4．（10分）
点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．
（2）因为P（-1，-2）为双曲线Y=
上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，
将点M（-2，-1）坐标代入得k=
，所以正比例函数解析式为y=x，同样可得，反比例函数解析式为
；（2）当点Q在直线OM上运动时，
设点Q的坐标为Q（m，
m），于是S△OBQ=
OB•BQ=×m×m=m2，而S△OAP=
|（-1）×（-2）|=1，所以有，
m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（-2，-1）；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，
），由勾股定理可得OQ2=n2+
=（n-）2+4，所以当（n-
）2=0即n-=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=
，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（
+2）=2+4．（10分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．
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