Question

如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD=8，BH=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH．

Answer 1

考点：垂径定理,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH=DH=4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r²=4²+（r-2）²，解得r=5；
（2）连结CF，如图，根据垂径定理得到弧AB=弧DB，而∠EAB=∠EBA，所以弧BD=弧AF，则弧AB=弧AF，再根据垂径定理的推论得OA⊥BG，所以BG=FG，然后证明△OAH≌△OBG，得到AH=BG，所以BF=2AH．

解答：（1）解：连结OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH=DH=4，
在Rt△OHA中，OH=r-2，OA=r，
∴r²=4²+（r-2）²
，解得r=5，
即⊙O的半径为5；
（2）证明：连结CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB=弧DB，
∵∠EAB=∠EBA，
∴弧BD=弧AF，
∴弧AB=弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG=FG，
∴∠OAH=∠OBG，
在△OAH和△OBG中，

∠OAH=∠OBG ∠OHG=∠OGB OA=OB

，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH=BG，
∴BF=2AH．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．