Question

（本小题满分9分）如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一动点，设DE＝x，作AF⊥AE交CB的延长线于点F．

（1）当点E不与点C，D重合时，求证：△ADE∽△ABF；

（2）连接EF，M为EF的中点，AB＝4，AD＝2， 当点E从D运动到C的过程中

①点M经过的路径是（ ）

A. 直线 B. 线段 C. 射线 D. 圆弧

②求点M经过的路径的长；

③连接BM，直接写出BM的长度的最小值．

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）根据矩形得出∠D=∠ABF=90°，根据垂直得出∠DAE=∠BAF，从而说明全等；（2）首先画出极端的两种情况，再看点M的位置关系；我们首先设DE=x，取CF的中点H，连接MH，BM，根据△ADE∽△ABF，得出BF=2x，FC=2+2x，FH=1+x，根据直角△MHB的勾股定理得出BM的二次函数关系式，然后根据二次函数的性质进行求解.

试题解析：（1）∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°， ∴∠ABF=∠D=90°，

∵AF⊥AE， ∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°， ∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAF，

∴△ADE∽△ABF；

（2）①、B ②、点M所运动的路程长度等于矩形的对角线长度，则点M运动的长度=2

③、BM的最小值为

考点：三角形相似的应用

考点分析： 考点1：四边形 四边形：四边形的初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。主要考察内容：①多边形的内角和，外角和等问题②图形的镶嵌问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。突破方法：①掌握多边形，四边形的性质和判定方法。熟记各项公式。②注意利用四边形的性质进行有关四边形的证明。③注意开放性题目的解答，多种情况分析。 试题属性

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