题目内容

已知直线y=- $数学公式$ x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D，
（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；
（2）设抛物线交y=ax²+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）直线y=- $\text{[math]}$ x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，
当y=0时，x= $\text{[math]}$ m，当x=0时，y=m，
∴C（ $\text{[math]}$ m，0）E（0，m）
∴CE= $\text{[math]}$ =2m．
由题意抛物线y=ax²+bx+c过E点可得：m=c，
抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（ $\text{[math]}$ m，2m），
∴ $\text{[math]}$
解得a=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ；
（2）抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+m，
A（x₁，0）为抛物线交于x 轴的交点，且使∠AEC=90°，
故A点坐标为A（- $\text{[math]}$ m，0），
将A点坐标代入抛物线解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+m，
可得0=- $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ ）+m，
解得m=0，不符合题意，
故不存在m使得∠AEC=90°．
分析：（1）根据直线解析式求出C、E两点坐标，再求出顶点D坐标，根据△CDE恰为等边三角形的条件便可求出b的值；
（2）先求出A点坐标，将A点坐标代入抛物线的解析式，求出m值，然后检验便可知道不存在m使得∠AEC=90°．
点评：本题是二次函数的综合题，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．