如图(1).△ABD和△CEF是两个全等的等腰三角形.AB=AD=CE=CF.固定△ABD．.将△CEF的顶点F固定在△ABD的边BD的中点处.△CEF绕点F在BD边上方左右旋转.设旋转时FC交BA于点H.FE交DA于点G．求证:△BHF∽△DFG．.△ECF的顶点F在△ABD的边BD上滑动.且CF始终经过点A.过点A作AG∥CE.交FE于点G.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图（1），△ABD和△CEF是两个全等的等腰三角形，AB=AD=CE=CF，固定△ABD．
（1）操作：如图（2），将△CEF的顶点F固定在△ABD的边BD的中点处，△CEF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：△BHF∽△DFG．
（2）操作：如图（3），△ECF的顶点F在△ABD的边BD上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．求证：FD+DG=EF=DB．

分析：（1）根据菱形的性质以及相似三角形的判定证明△BFH∽△DGF即可；
（2）利用已知以及平行线的性质证明△ABF≌△ADG，即可证明FD+DG=EF=DB．

解答：证明：（1）∵△ABD和△CEF是两个全等的等腰三角形，
∴∠B=∠D，∠B=∠HFG，
∵∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，

（2）∵AG∥CE，
∴∠AGF=∠E，∠FAG=∠C，
又∵∠E=∠CFE，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠FAG，
∴∠BAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD，
即∠BAF=∠DAG
又∵AB=AD
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD=EF．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠DAG是解决问题的关键．