Question

【题目】如图，抛物线经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）Q（﹣1，4）．

【解析】试题分析：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得出关于b、c的二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线解析式求出OA，设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，证明△AHP∽△PHB，得出PH2=BHAH，由此得出方程[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解方程即可；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+DQ，如备用图，作辅助线，将BQ+DQ转化为BQ+QG；再由垂线段最短，得到垂线段BH与直线AD的交点即为所求的Q点．

试题解析：解：（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；

（2）存在点P，使∠APB=90°．当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．

设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，∴ ，∴PH2=BHAH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1=，m2=，∴点P的横坐标为： 或；

（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴tan∠DAB==1，∴∠DAB=45°．过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG．

由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+DQ，∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．

由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．

∵A（3，0），D（﹣2，5），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，∵B点横坐标为﹣1，∴y=1+3=4，∴Q（﹣1，4）．