Question

【题目】如图①矩形ABCD在坐标系中的位置如图所示，OB＝3OA＝3，BC＝5，将线段BC绕点B旋转，使点C落在y轴负半轴上的点E处，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；

（2）点P是抛物线上一动点，F是直线BE上一动点．

①如图②，若OF⊥BE，直线PQ∥OF交直线BE于点Q，若以P、Q、F、O为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②若直线OF与直线BE的夹角等于∠BEO的2倍，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①符合条件的点P的横坐标是，；②符合条件的点F的坐标是(,-2)，（，）.

【解析】

(1)先求出OE的长，然后可得点A、B、E的坐标，代入可得抛物线的解析式；

(2)①如图，过点P作直线MN⊥轴于点M.交直线BE于点N,先求出BE的解析式，然后再求出△PNQ≌△OFE,分别计算出点P在x轴的上方和点P在x轴的下方的横坐标值即可解答

②如图，作OE的垂直平分线交BE于点,作OH⊥BE于点，在线BE上作关于点H的对称点，求出即可求出 的坐标；作轴于点S,通过解直角三角形 ,即可求出的坐标即可解答.

(1) 由题意知，OA=1,OB=3,BC=BE=5,

∵∠BOE=90,∴OE=,

∴A(-1,0),B(3,0),E(0,-4),

∴，解之得，

∴抛物线的解析式为；

（2）①过点P作直线MN⊥轴于点M.交直线BE于点N,

∵直线BE经过点B(3,0),E(0,-4)，

用待定系数法可求直线BE的解析式为

∵PQ∥OF,OF⊥BE,∴PQ⊥BE,

∵四边形PQFO为平行四边形，∴PQ=FO=

∵MN∥OE,∴∠OEF=∠PNQ,∴△PNQ≌△OFE,

∴PN=OE=4,

设点P的坐标为（，），则点Q的坐标是（，），

∴ 当点P在轴的下方，PN=NM-PM=4 ,

即 ，

解之得，，（舍去），

∴，

当点P在轴的上方，同理可得，

∴符合条件的点P的横坐标是，；

②作OE的垂直平分线交BE于点,作OH⊥BE于点，在线BE上作关于点H的对称点,则,

∵，,∴,

∴,∴(,-2);

设点的坐标是（，），作轴于点S,

则OS=，，∴ES=，

而=

∵,∴

，（，）

综上所述，符合条件的点F的坐标是(,-2)，（，）.