题目内容

用S（n）表示自然数n的数字和，如S（1）=1，S（12）=3，S（516）=12，等等，
试问是否存在这样的自然数n，使得n+S（n）=2008？请说明理由．
分析：先弄清S（n）与自然数n的关系，根据关系列出等式，得到二元一次方程组，并确定x、y的取值范围，进而推知x、y的整数解与n的取值范围．
解答：解：n=1985或2003（2分）（每个1分）
∵n+S（n）=2008，
∴1900＜n＜2008，
则可设n=1900+10x+y或n=2000+10x+y，
其中0≤x≤9，0≤y≤9，且x，y为整数．（4分）
（1）若n=1900+10x+y，
则1900+10x+y+1+9+x+y=2008，
即11x+2y=98，
∴
x=8
y=5
，n=1985．（8分）
（2）若n=2000+10x+y，
则2000+10x+y+2+x+y=2008，
即11x+2y=6，
∴
x=0
y=3
，n=2003．
∴n=1985或2003．（12分）
点评：此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的信息，再加以分析．
练习册系列答案
相关题目
探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时有式①：2×
2
3
=
2+
2
3
n=3时有式②：3×
3
8
=
3+
3
8

式①验证：2×
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

式②验证：3×
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
（2011•揭阳）如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是
64
64
，它是自然数
8
8
的平方，第8行共有
15
15
个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是
n2-2n+2
n2-2n+2
，最后一个数是
n2
n2
，第n行共有
（2n-1）
（2n-1）
个数；
（3）求第n行各数之和．
（2013•门头沟区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，则点M1的坐标是
（1，1）
（1，1）
，点M5的坐标是
（-4，-4）
（-4，-4）
；若把点Mn（xn，yn）（n是自然数）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的绝对坐标，则点M8n+3的绝对坐标是
（24n+1，24n+1）
（24n+1，24n+1）
（用含n的代数式表示）．
观察下列算式：
12-02=1+0=1；22-12=2+1=3；32-22=3+2=5；42-32=4+3=7；52-42=5+4=9；…．若字母n表示自然数，请把你观察到的规律用含n的等式表示出来：
n2-（n-1）2=2n-1
n2-（n-1）2=2n-1
．

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