Question

如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，若AD=CG，AB=AC+BH．求证：GH⊥CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长CG交AB于F，易证△ADC≌△BGC，可得CD=CG，即可求得AC=AF，∠BGF=45°，即可求得BF=BH，即可证明△BGF≌△BGH，可得∠BGH=∠BGF=45°，即可解题．

解答：证明：延长CG交AB于F，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，∠DEA=∠BEC，∠ADE=∠BCE=90°．
∴∠DAE=∠CBE，
在△ADC和△BGC中，

∠BCG=∠DCA AC=BC ∠DAE=∠CBE

，
∴△ADC≌△BGC（ASA），
∴CD=CG，
∵AD=CG，
∴AD=CD，
∵∠BCG=∠DCA，
∴∠DCG=90°，
∴∠CDG=45°，
∴∠DAC=∠DCA=∠BCG=∠CBG=22.5°，
∴∠ACF=67.5°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠AFC=67.5°，∠ABG=22.5°，
∴AC=AF，∠BGF=45°，
∵AB=AC+BH，
∴BF=BH，
在△BGF和△BGH中，

BG=BG ∠CBG=∠ABG=22.5° BF=BH

，
∴△BGF≌△BGH（SAS），
∴∠BGH=∠BGF=45°，
∴∠CGH=90°，即GH⊥CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ADC≌△BGC和△BGF≌△BGH是解题的关键．