题目内容
在研究勾股定理时，同学们都见到过图1，∠CBA=90°，四边形ACKH、BCED、ABFG都是正方形．（1）连接BK、AE得到图2，则△CBK≌△CEA，此时两个三角形全等的判定依据是______；过B作BM⊥KH于M，交AC于N，则S矩形KMNC=2S△CKB；同理S正方形BCED=2S△CEA，得S正方形BCED=S矩形KMNC，然后可证得勾股定理．
（2）在图1中，若将三个正方形“退化”为正三角形，得到图3，同学们可以探究△BCD、△ABG、△ACK的面积关系是______．
（3）为了研究问题的需要，将图1中的Rt△ABC也进行“退化”为锐角△ABC，并擦去正方形ACKH得图4，由AB、BC两边向三角形外作正△BCD、正△ABG，△BCD的外接圆与AD交于点P，此时C、P、G共线，从△ABC内一点到A、B、C三个顶点的距离之和最小的点恰为点P（已经被他人证明）．设BC=3，CA=4，∠BCA=60°．求PA+PB+PC的值．
【答案】分析：（1）利用全等三角形的判定SAS得出即可；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S△BCD，S△ABG，S△ACK，然后根据AC2=BC2+BA2即可得出S△BCD，S△ABG，S△ACK的关系；
（3）首先证明△BPC≌△BED（AAS），进而得出QC的长，再利用勾股定理得出AD的长．
解答：解：（1）利用BC=EC，∠KCB=∠ECA，AC=CK，得出△CBK≌△CEA（SAS）；
故答案为：SAS；
（2）∵S△ABG=
GE×AB=
×
AB×AB=
AB2，S△BCD=
BC•DM=
×
BC×BC=
BC2，
S△ACK=
AC×NK=
×
AC×AC=
AC2，
∴S△BCD+S△ABG=S△ACK，
故答案为：S△BCD+S△ABG=S△ACK；
（3）在PD上截取PE=PB，连BE，延长AC作DQ⊥AC于点Q，
∵△BCD为正三角形，BD=BC=CD=3．
∴∠BPD=60°，∠CPD=60°．
∴△PBE为正三角形
∴PB=PC=BE，∴∠BEP=60°
∴∠BED=180°-∠BEP=180°-60°=120°．
∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+60°=120°．
在△BPC和△BED中，
∵
∴△BPC≌△BED（AAS），
∴PC=DE，
∴PA+PB+PC=PA+PE+ED=AD，
在△CDA中，CD=3，CA=4，∵∠DCA=∠DCB+∠BCA=120°．
∴∠DCQ=60°，
∴∠QDC=30°，
∴CQ=
CD=
×3=
，QD=
，
∴AQ=4+
=
，
∴AD=
=
．
即PA+PB+PC=
．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用等知识，利用锐角三角函数求出QC的长进而利用勾股定理得出是解题关键．
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S△BCD，S△ABG，S△ACK，然后根据AC2=BC2+BA2即可得出S△BCD，S△ABG，S△ACK的关系；
（3）首先证明△BPC≌△BED（AAS），进而得出QC的长，再利用勾股定理得出AD的长．
解答：解：（1）利用BC=EC，∠KCB=∠ECA，AC=CK，得出△CBK≌△CEA（SAS）；
故答案为：SAS；
（2）∵S△ABG=
GE×AB=
×
AB×AB=
AB2，S△BCD=
BC•DM=
×
BC×BC=
BC2，S△ACK=
AC×NK=
×
AC×AC=
AC2，∴S△BCD+S△ABG=S△ACK，
故答案为：S△BCD+S△ABG=S△ACK；
（3）在PD上截取PE=PB，连BE，延长AC作DQ⊥AC于点Q，
∵△BCD为正三角形，BD=BC=CD=3．
∴∠BPD=60°，∠CPD=60°．
∴△PBE为正三角形
∴PB=PC=BE，∴∠BEP=60°
∴∠BED=180°-∠BEP=180°-60°=120°．
∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+60°=120°．
在△BPC和△BED中，
∵
∴△BPC≌△BED（AAS），
∴PC=DE，
∴PA+PB+PC=PA+PE+ED=AD，
在△CDA中，CD=3，CA=4，∵∠DCA=∠DCB+∠BCA=120°．
∴∠DCQ=60°，
∴∠QDC=30°，
∴CQ=
CD=
×3=
，QD=
，∴AQ=4+
=
，∴AD=
=
．即PA+PB+PC=
．点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用等知识，利用锐角三角函数求出QC的长进而利用勾股定理得出是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
，四边形
、
、
都是正方形.
、
得到图2，则△
≌△
，此时两个三角形全等的判定依据是
作
⊥
于
，交
于
，则
△
；同理
△
，得
，然后可证得勾股定理.
、△
、△
的面积关系是 ▲ .
△
也进行“退化”为锐角△
两边向三角形外作正△
交于点
，此时
、
共线，从△
、
＝3，
＝4，
.求
的值.
，四边形
、
、
都是正方形.
、
得到图2，则△
≌△
，此时两个三角形全等的判定依据是
作
⊥
于
，交
于
，则
△
；同理
△
，得
，然后可证得勾股定理.
、△
、△
的面积关系是 ▲ .
△
也进行“退化”为锐角△
两边向三角形外作正△
交于点
，此时
、
共线，从△
、
＝3，
＝4，
.求
的值.
，四边形
、
、
都是正方形.
、
得到图2，则△
≌△
，此时两个三角形全等的判定依据是
作
⊥
于
，交
于
，则
△
；同理
△
，得
，然后可证得勾股定理.
、△
、△
的面积关系是 ▲ .
△
也进行“退化”为锐角△
两边向三角形外作正△
交于点
，此时
、
共线，从△
、
＝3，
＝4，
.求
的值.
，四边形
、
、
都是正方形.
、
得到图2，则△
≌△
，此时两个三角形全等的判定依据是
作
⊥
于
，交
于
，则
△
；同理
△
，得
，然后可证得勾股定理.
、△
、△
的面积关系是 ▲ .
△
也进行“退化”为锐角△
两边向三角形外作正△
交于点
，此时
、
共线，从△
、
＝3，
＝4，
.求
的值.