Question

【题目】如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，∠CAO＝60°，OA＝2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿A→C→B运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒．

（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若△PAM≌△PDM，求点P的坐标；

（3）当点M在CB上运动时，如图（2）过点M作ME⊥AD，MF⊥x轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与△ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；

（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y= ；（2）点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）；（3）S＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，S最大＝；（4）P（﹣8，－10）

【解析】

（1）由直角三角形的性质可求点C，点D坐标，由待定系数法可求解析式；

（2）由全等三角形的性质可得DM=AM，PD=AP，可得点P在AD的垂直平分线上，可求点P的纵坐标，代入可求解；

（3）由题意可证△ACB是等边三角形，可得CM=2t-4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t，即可求重叠部分面积，由二次函数的性质可求解；

（4）由题意先求出直线AC，BP的解析式，即可求点P坐标．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AO＝2，∠AOC＝90°，且∠CAO＝60°，OA＝2，

∴OC＝2，

∴点C（0，2），点D（﹣2，2），

设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）

∴

解得：

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+＝，

（2）∵M为AC中点，

∴MA＝MD，

∵△PAM≌△PDM，

∴PA＝PD，

∴点P在AD的垂直平分线上

∴点P纵坐标为，

∴

∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣

∴点P（﹣1+，）或（﹣1﹣，）

（3）如图2，

∵AO＝BO＝2，CO⊥AB，

∴AC＝BC＝4，∠CAO＝60°，

∴△ACB是等边三角形，

由题意可得：CM＝2t﹣4，BF＝（8﹣2t）＝4﹣t，MF＝4﹣t，AF＝t．

∵四边形AEMF是矩形，

∴AE＝MF，EM＝AF，EM∥AB，

∴∠CMH＝∠CBA＝60°，∠CHM＝∠CAO＝60°，

∴△CMH是等边三角形，

∴CM＝MH＝2t﹣4，

∵S＝（2t﹣4+t）（4﹣t）＝﹣（t﹣）2+

当t＝时，S最大＝，

（4）∵S△ABP＝×4×d＝2d，

又S△BPQ＝2d

∴S△ABP＝S△BPQ，

∴AQ∥BP

设直线AC解析式为y＝kx+b，

把A（﹣2，0），C（0，2）代入其中，得

∴

∴直线AC解析式为：y＝x+2，

设直线BP 的解析式为y＝x+n，把B（2，0）代入其中，得

0＝2+n，

∴b＝﹣2

∴直线BP解析式为：y＝x﹣2，

∴＝x﹣2，

∴x1＝2（舍去），x2＝﹣8，

∴P（﹣8，－10）．