Question

【题目】如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.

（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.

（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.

（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.

【解析】

（1）由菱形的性质可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行线的性质可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得结论；

（2）由矩形的性质和菱形的性质可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的长；

（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求d的值；点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H；若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．

（1）∵四边形APEF是菱形

∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，

∵四边形PBCD是菱形

∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP

∴∠APE＝∠PDC

∴∠FPE＝∠BDP

∴PF∥BD，且AP∥EF

∴四边形四边形FGBP是平形四边形；

（2）若四边形DFPG恰为矩形

∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，

∴PD＝2EF

∵四边形APEF是菱形，四边形PBCD是菱形

∴AP＝EF，PB＝PD

∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10

∴FG=PB＝.

（3）如图，点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，

∵FE＝2EG，

∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG

∵AB＝10

∴AP+PB＝5EG＝10

∴EG＝2，

∴AP＝4，PB＝6＝BC，

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB

∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3

∴AH＝13

∴AC＝＝14

若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H

∵FE＝2EG，

∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG

∵AB＝10，

∴3EG＝10

∴EG＝

∴BP＝BC＝

∵∠ABC＝120°，

∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB

∴BH＝BC＝，CH＝BH＝

∴AH＝

∴AC＝

综上所述：d＝14或.