Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+x+2与直线y=x+2相交于点C和D，点P是抛物线在第一象限内的点，它的横坐标为m，过点P作PE⊥x轴，交CD于点F．

（1）求点C和D的坐标；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标；

（3）如果以P、C、O、F为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2）和D（3，）；（2）（，0），（4，0）；（3）m的值为1、2或．

【解析】

（1）解抛物线和直线的解析式组成的方程组即可；

（2）令y=0，解一元二次方程即可；

（3）若四边形PCOF是平行四边形，则PF=OC=2，先化简题意表示出点P的坐标为（m，-m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），然后分两种情况讨论求得；

（1）解，则x2+x+2＝x+2，

整理得，x2-3x=0，解得x1=0，x2=3，

∴，．

∴所求的点的坐标是C（0，2）和D（3，）；

（2）令y=0，则x2+x+2＝0，

解得，x1＝，x2=4，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（4，0）；

（3）若四边形PCOF是平行四边形，则PF=OC=2，

∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为（m，-m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），

当0＜m＜3时，PF=（-m2+m+2）-（m+2），

∴-m2+3m=2，m2-3m+2=0，m1=1，m2=2；

当3＜m＜4时，PF=（m+2）-（-m2+m+2），

∴m2-3m=2，m2-3m-2=0，m3=，m4=（舍去）．

∴如果以P、C、O、F为顶点的四边形是平行四边形，则m的值为1、2或．