Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．

（1）当t=秒时，点Q的坐标是　 　；

（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；

（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．

【解析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；

（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；

（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．

（1）令y=0，

∴﹣x+4=0，

∴x=6，

∴A（6，0），

当t=秒时，AP=3×=1，

∴OP=OA﹣AP=5，

∴P（5，0），

由对称性得，Q（4，0）；

（2）当点Q在原点O时，OQ=6，

∴AP=OQ=3，

∴t=3÷3=1，

①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，

∴y=4，

∴B（0，4），

∴OB=4，

∵A（6，0），

∴OA=6，

在Rt△AOB中，tan∠OAB=，

由运动知，AP=3t，

∴P（6﹣3t，0），

∴Q（6﹣6t，0），

∴PQ=AP=3t，

∵四边形PQMN是正方形，

∴MN∥OA，PN=PQ=3t，

在Rt△APD中，tan∠OAB=，

∴PD=2t，

∴DN=t，

∵MN∥OA

∴∠DCN=∠OAB，

∴tan∠DCN=，

∴CN=t，

∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；

②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，

∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；

③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；

（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），

∴M（6﹣6t，3t），

∵T是正方形PQMN的对角线交点，

∴T（6﹣t，t）

∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），

作出点O关于直线y=﹣x+2的对称点O'交此直线于G，过点O'作O'F⊥x轴，则O'F就是OT+PT的最小值，

由对称知，OO'=2OG，

易知，OH=2，

∵OA=6，AH=，

∴S△AOH=OH×OA=AH×OG，

∴OG=，

∴OO'=

在Rt△AOH中，sin∠OHA=，

∵∠HOG+∠AOG=90°，∠HOG+∠OHA=90°，

∴∠AOG=∠OHA，

在Rt△OFO'中，O'F=OO'sin∠O'OF=×=，

即：OT+PT的最小值为．