Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，3

3

），连接AB，动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1，

3

，2（长度单位/秒）；同时直线l从x轴的位置开始以

3

3

（长度单位/秒）的速度向上平行移动，且分别与OB、AB交于E、F两点，设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A、B两点的直线表达式是

y=-

3

x+3

3

．
（2）当t=4时，点P坐标为

（0，

3

）

，当t=

9

2

时，点P与点E重合；
（3）作点P关于直线l的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
（4）当t=2时，是否存在点Q，使△FEQ∽△BEP？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求得过A、B两点的直线表达式；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．
（4）当t=2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）设过A、B两点的直线表达式为y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）．
∵点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，3

3

），
∴

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
∴过A、B两点的直线表达式为：y=-

3

x+3

3

；

（2）∵点A的坐标是（3，0），
∴OA=3；
又∵点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1，

3

，
∴当t=4时，点P在线段OB上，且OP=（4-3÷1）×

3

=

3

，
∴点P的坐标是（0，

3

）；
当点P与点E重合时，

OE

3 3

=

OE

3

+

OA

1

=

OE

3

+3，
解得OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3 2

3 3

=

9

2

；

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，
∴AG=

FG

tan60°

=

1

3

t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t
由3-t=

2

3

t得t=

9

5

；
②当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
③当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE=

3

3

t，
∴BE=3

3

-

3

3

t，
∴EF=

BE

tan60°

=3-

t

3

，
∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，
解得t=

45

7

；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

3

，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3）
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度
∴C点坐标为（-

2

3

3

，

2

3

3

-1）
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

，可得Q的坐标为（-

2

3

，

3

3

）；
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-

2

3

，

3

）也符合条件．
故答案是：（1）y=-

3

x+3

3

；（2）（0，

3

）；

9

2

．

点评：本题考查了一次函数综合题．解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．