Question

【题目】如图，BD是ABCD的对角线，AD⊥BD，AB＝2cm，∠A＝45°．动点P从点B出发，以cm/s的速度沿BA运动到终点A，同时动点Q从点D出发，以2cm/s的速度沿折线DB﹣BC向终点C运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点Q作QE⊥AD，交射线AD于点E，连接PQ，以PQ与EQ为边作PQEF．设点P的运动时间为t（s），PQEF与ABCD重叠部分图形的面积为S（cm2）．

（1）AP＝　 　cm（用含的代数式表示）；

（2）当点F落在边AD上时，求t的值：

（3）求S与t之间的函数关系式；

（4）连接FQ，当FQ所在的直线将ABCD分成面积相等的两部分时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）2﹣t（2）（3）S＝（4）t＝或t＝

【解析】

（1）先根据点P的运动速度和时间可得PB的长，从而得AP的长；
（2）根据BQ＝PQ＝BDDQ，列方程可得结论；也可以根据平行四边形的性质可得PF＝QE，据此列出方程求出t的值即可；
（3）分三种情况分别求出S与t的函数关系式即可：①当0＜t≤时，PQEF与ABCD重叠部分为矩形；②当＜t≤1时，PQEF与ABCD重叠部分为梯形；③当1＜t≤2时，PQEF与ABCD重叠部分为五边形．
（4）当直线FQ将ABCD分成面积相等的两部分时，则Q必在对角线BD中点或直线FQ经过对角线BD中点，据此解答即可．

解：（1）由题意得：PB＝t，

∵AB＝2，

∴AP＝AB﹣PB＝2﹣t；

故答案为（2﹣t）；

（2）如图1，当点F落在边AD上，

由题意得：DQ＝2t，PB＝t，

∵四边形PQEF是平行四边形，

∴PQ∥EF，

∴∠BPQ＝∠A＝45°，∠BQP＝∠ADB＝90°，

∴PQ＝BQ＝t，

∵△ADB是等腰直角三角形，且AB＝2，

∴BD＝2，

∴BQ＝BD﹣DQ＝2﹣2t，

即t＝2﹣2t，

∴t＝，

则当点F落在边AD上时，t的值秒；

（3）分两种情况：

①当0＜t≤时，Q在BD上，如图1，过P作PM⊥BD于M，则△BPM是等腰直角三角形，

∵PB＝t，

∴PM＝t，

∴S＝DQPM＝2tt＝2t2；

②当＜t≤1时，Q在BD上，如图3，过Q作QH⊥AB于H，

∵BQ＝2﹣2t，

∴QH＝（2﹣2t），

∵PF∥BD，∠ADB＝90°，

∴∠ANP＝90°，

∵AP＝2﹣t，

∴AN＝PN＝2﹣t，

∴S＝S△ADB﹣S△ANP﹣S△PBQ＝﹣＝t2+t．

③当1＜t≤2时，如图4，Q在BC上，

同②知：AN＝PN＝2﹣t，

∵EQ∥BD，DE∥BQ，

∴四边形BDEQ是平行四边形，∠DEQ＝90°，

∴EQ＝span>BD＝2，BQ＝DE＝2t﹣2，

∵EN＝DN+DE＝2﹣（2﹣t）+（2t﹣2）＝3t﹣2，

S＝﹣＝﹣＝﹣t2+11t﹣6；

综上，S与t之间的函数关系式为：S＝；

（4）存在两种情况：

①当FQ过BD的中点O时，如图5，则OB＝OD＝1，

∵∠DOM＝∠BOQ，∠MDO＝∠OBQ，

∴△MDO≌△QBO（ASA），

∴BQ＝DM＝DE＝2t﹣2，

∴MN＝EN﹣2DM＝（3t﹣2）﹣2（2t﹣2）＝2﹣t，

∵AN＝PN＝2﹣t，

∴FN＝t，

∵∠NFM＝∠BOQ，

∴tan∠NFM＝tan∠BOQ，即，

∴，

2t2﹣t﹣2＝0，

t＝或；

②当Q在BD的中点上时，如图6，则2t＝1，t＝；

综上，t＝秒或t＝秒．