题目内容

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B点坐标为（4，3）．抛物线y₁= $数学公式$ x²+bx+c经过O、A两点．
（1）则直线OB函数关系式，抛物线y₁的函数关系式．
（2）若沿x轴负方向平移抛物线y₁，使其经过点B，得到抛物线y₂，则平移的距离是个单位长度，抛物线y₂的解析式是．
（3）设P为线段OB上一点，过点P作y轴的平行线分别交抛物线y₁、y₂于点Q、R，连接CP、CR、CQ．若P点的横坐标为m，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，求m的值．

解：（1）∵B点坐标为（4，3），
∴代入解析式y=kx，

得出OB：y= $\text{[math]}$ x；
根据B点坐标为（4，3），
∴A（0，0），C（4，0）
代入y₁= $\text{[math]}$ x²+bx+c，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴c=0，b=-1，
∴y₁= $\text{[math]}$ x²-x；
故答案为：y= $\text{[math]}$ x，y₁= $\text{[math]}$ x²-x；

（2）∵y₁= $\text{[math]}$ x²-x= $\text{[math]}$ （x-2）²-1；
∵沿x轴负方向平移抛物线y₁，使其经过点B，得到抛物线y₂，
∴抛物线y₂过B点，假设y₂= $\text{[math]}$ （x+a）²-1；
代入B点，解得：a=0或-8（不合题意舍去），
∴平行的距离为：2个单位长度，
∴y₂= $\text{[math]}$ x²-1；

（3）由题意知0≤m≤4．
要使△CPR的面积是△CQR的面积的2倍，只需PR=2QR．
若Q在R、P之间，则PR= $\text{[math]}$ m-（ $\text{[math]}$ m²-1）=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1
2QR=2[ $\text{[math]}$ m²-m-（ $\text{[math]}$ m²-1）]=2-2m．
∴- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1=2-2m，

解得m₁= $\text{[math]}$ ，m₂= $\text{[math]}$ ，
∵m₂＞5，不符合题意，舍去．
若R在Q、P之间，则PR= $\text{[math]}$ m-（ $\text{[math]}$ m²-1）=- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1，
2QR=2[ $\text{[math]}$ m²-1-（ $\text{[math]}$ m²-m）]=2m-2．
∴- $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+1=2m-2，
解得：m₁= $\text{[math]}$ ，m₂= $\text{[math]}$ ，
∵m₂＜0，不符合题意，舍去．
综上所述，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，
m= $\text{[math]}$ 或m= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先求出A，B，C的点的坐标，再利用待定系数法分别求出直线OB函数关系式，抛物线y₁的函数关系式；
（2）利用二次函数图象的平移性质，沿x轴负方向平移抛物线y₁，得出a，c的值不变，即可求出；
（3）表示出△CPR的面积以及△CQR的面积根据两者的面积关系得出m的值．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的性质以及图象的平移等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法，注意分类讨论思想的应用．