Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为，直线与抛物线相交于、两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）为抛物线上一动点，且位于的下方，求出面积的最大值及此时点的坐标；

（3）设点在轴上，且满足，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）当时，取最大值，此时点坐标为.

（3）或17.

【解析】

（1）根据对称轴与点A代入即可求解；

（2）先求出，过点作轴的平行线，交直线于点，设，得到，，表示出，根据二次函数的性质即可求解；

（3）根据题意分①当在轴正半轴上时， ②当在轴负半轴上时利用相似三角形的性质即可求解.

（1）∵对称轴为x＝1，

∴＝1，

∴b＝2a，

∴y＝ax2＋2ax5，

∵y＝x＋3与x轴交于点A（3，0），

将点A代入y＝ax2＋2ax5可得a＝

∴.

（2）令，解得：，，

∴，

过点作轴的平行线，交直线于点，

设，则，

∴，，

则，

∵，

∴当时，取最大值，

此时点坐标为.

（3）存在，

理由：①当在轴正半轴上时，如图，

过点作于，

根据三角形的外角的性质得，，

又∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

设，则，

又∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

②当在轴负半轴上时，记作，

由①知，，取，如图，

则由对称知：，

∴，

因此点也满足题目条件，∴，

综合以上得：或17.