Question

11．己知线段a及∠α（∠α＜90°）
〔1）作等腰△ABC并使得所作等腰△ABC腰长为a，且有内角等于∠α（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若a=4，∠α=30°，求（1）中所作△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）作∠MBN=α，在BN上截取BA=a，然后以A点为圆心，a为半径画弧交BM于C，则△ABC满足条件，如图1；作∠A=∠α，再在∠A的两边截取AB=AC=a，则△ABC满足条件，如图2；
（2）对于图1，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，根据含30度的直角三角形三边的关系求出AD、BD，然后根据三角形面积公式求解，；同样方法可计算出图2中的△ABC的面积．

解答 解：（1）如图1和如图2，△ABC为所作；
（2）如图1，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=4，
∴BD=CD，
∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
如图2，作BD⊥AC于D，
则BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．