Question

如图，已知AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，求AC的长．

Answer 1

解：过点C作CE∥AB，交BD于E，如右图所示，
设AC=x，
∵∠ABC=90，AB=1，AC=x，
∴BC=，
∴CE=BC•tan30°=×，
∵CE∥AB，
∴△DCE∽△DAB，
∴DC：AD=CE：AB，
∴（1+x）××=1，
化简得（x+2）（x³-2）=0，
解关于x的方程得
x=（负数舍去），
∴AC=．
分析：先过C作CE∥AB，交BD于E，并设AC=x，在△ABC中，利用勾股定理易求BC，在△BCE中特殊三角函数值，可求CE，而CE∥AB，可证△DCE∽△DAB，利用比例线段，可得关于x的无理方程，解即可．
点评：本题考查了勾股定理、特殊三角函数值、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、解无理方程．