Question

已知函数f（x）=x²+λx，p、q、r为△ABC的三边，且p＜q＜r，若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r），则λ的取值范围是

1. A.
   λ＞-2
2. B.
   λ＞-3
3. C.
   λ＞-4
4. D.
   λ＞-5

Answer 1

D
分析：利用f（r）-f（q）＞0，得出r²+λr-（q²+λq）=r²-q²+λr-λq=（r+q）（r-q）+λ（r-q），利用p＜q＜r得出qmin=2，rmin=3，可求λ的范围．
解答：∵f（r）-f（q）＞0，
r²+λr-（q²+λq）=r²-q²+λr-λq=（r+q）（r-q）+λ（r-q），
=（r-q）（r+q+λ）＞0①又q＜r，
∴（r+q+λ）＞0，λ＞-（r+q），
同理，（q-p）（q+p+λ）＞0②，
又∵p＜q，
∴（q+p+λ）＞0，λ＞-（p+q），
（r-p）（r+p+λ）＞0③
又∵p＜r，
∴（r+p+λ）＞0，λ＞-（r+q）
又∵p＜q＜r，
∴λ最大为-（p+q），
p、q、r三者均为正整数，p＜q＜r，且p、q、r为△ABC的三边，即需满足p+q＞r，
∴p的最小值应为2（如P为1，q可为2，r可为3，1+2=3，不满足p+q＞r的条件），则q的最小值应为3，
∴λ＞-5
故选：D．
点评：此题考查了二次函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．