Question

若记y=f（x）=

x2

1+x2

，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=

12

1+12

=

1

2

；f（

1

2

）表示当x=

1

2

时y的值，即f（

1

2

）=f(

1

2

)=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

；…；则f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（2011）+f（

1

2011

）=

 

．

Answer 1

分析：此题需先根据y=f（x）=

x2

1+x2

，计算出f（

1

x

）的值，发现f（x）+f（

1

x

）=1，再根据此规律，即可得出结果．

解答：解：∵y=f（x）=

x2

1+x2

，
∴f（

1

x

）=

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

1

1+x2

，
∴f（x）+f（

1

x

）=1，
∴f（1）+f（2）+f（

1

2

）+f（3）+f（

1

3

）+…+f（2011）+f（

1

2011

）
=f（1）+[f（2）+f（

1

2

）]+[f（3）+f（

1

3

）]+…+[f（2011）+f（

1

2011

）]
=

1

2

+1+1+…+1
=

1

2

+2010
=2010

1

2

．
故答案为：2010

1

2

．

点评：此题考查了分式的加减，解题时要根据已知条件y=f（x）=

x2

1+x2

，找出其中的规律，是本题的关键，解题时要细心．