题目内容

如图，已知点A（0，1），C（4，3），E（ $数学公式$ ， $数学公式$ ），P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax²+bx+1以P为顶点．
（1）说明点A，C，E在一条直线上；
（2）能否判断抛物线y=ax²+bx+1的开口方向？请说明理由；
（3）设抛物线y=ax²+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a，b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．

解：（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y= $\text{[math]}$ x+1
将点E的坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），代入y= $\text{[math]}$ x+1中，左边= $\text{[math]}$ ，右边= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
∵左边=右边
∴点E在直线y= $\text{[math]}$ x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；

（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD的内部，
∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，
∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下．
解法二：
∵抛物线y=ax²+bx+1的顶点P的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，且P在矩形ABCD的内部，
∴1＜ $\text{[math]}$ ＜3，由1＜1- $\text{[math]}$ 得- $\text{[math]}$ ＞0．
∴a＜0．

∴抛物线开口向下；

（3）连接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴ $\text{[math]}$ GO•AO- $\text{[math]}$ FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x₁，0），G（x₂，0），
则x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的两个根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁•x₂= $\text{[math]}$ ＜0，
∴x₁＜0＜x₂
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁= $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ =6
∴b=-6a
∴抛物线的解析式为：y=ax²-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴- $\text{[math]}$ ＜a＜0①
由方程组 $\text{[math]}$ ，
得：ax²-（6a+ $\text{[math]}$ ）x=0
∴x=0或x= $\text{[math]}$ =6+ $\text{[math]}$
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，
则有：0＜6+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
解得：- $\text{[math]}$ a＜- $\text{[math]}$ ②
综合①②，得- $\text{[math]}$ ＜a＜- $\text{[math]}$
∵b=-6a，
∴ $\text{[math]}$ ＜b＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）说明点A、C、E在一条直线上，只要求出过A、C的直线的解析式，然后判断E是否满足函数的解析式就可以；
（2）由于动点P在矩形ABCD的内部，因而点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，则抛物线有最高点，抛物线的开口向下；
（3）已知△GAO与△FAO的面积差为3，而这两个三角形的高相同是OA的长，等于1，因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式．抛物线y=ax²-6ax+1的顶点可以用a表示出来，顶点P在矩形ABCD的内部，即可以求出a的取值范围．
点评：本题综合运用了抛物线的顶点坐标的求法，以及一元二次方程的求解和韦达定理．难度较大．