Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动，若P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．
（1）当t为何值时，线段AB与线段PQ相等；
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形；
（3）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图形可得，当PQ⊥BC时AB=PQ，也即AP=BQ时满足题意，将线段AP及BQ的长度分别用含t的式子表示出来，联立求解即可．
（2）设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，作PM⊥BC于BC于M，DN⊥BC于N，分别表示出BM、QM，则利用等腰梯形的性质可建立关于t的方程，解出即可．
（3）由（2）可得CN=2，CD=2

7

，从而根据周长相等可得AP+AB+BQ=PD+DC+CQ，用含t的式子代入各线段的长度可得出t的值．

解答：解：（1）设运动时间为t秒时，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=BC-CQ=（26-3t）cm，
∵AB⊥BC，
∴当PQ=AB时，则四边形ABQP为矩形，
∴AP=BQ，
∴当t=26-3t，解得t=6.5．
∴当t=6.5时，线段AB与线段PQ相等．

（2）设运动时间为t秒，则有AP=tcm，CQ=3tcm，
∴BQ=26-3t，
作PM⊥BC于BC于M，DN⊥BC于N，则有NC=BC-AD=26-24=2．
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC=QM=2，∴BM=（26-3t）+2=28-3t，
∴当AP=BM，即t=28-3t，解得t=7，
∴t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）答：存在t的值，使PQ把直角梯形分成周长相等的两部分，
在Rt△DNC中，DN=AB=8cm，CN=2cm，
∴CD=2

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．
由AP+AB+BQ=PD+DC+CQ，
得t+8+（26-3t）=（24-t）+2

17

+3t，
解得：t=

5- 17

2

，
∴当t=

5- 17

2

时，PQ把直角梯形分成周长相等的两部分．

点评：此题考查了梯形的性质及等腰梯形的判定，属于动点型问题，关键是判断出要求的三种条件下，点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值，难度较大．