如图.在平面直角坐标系中.菱形BCDE的一边BC平行于x轴.点D在第一象限.直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点A.与y轴交于点B.并经过点E.且点B是AE的中点.店D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上．(1)求点B和点D的坐标,(2)若点F是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的动点.当△FBC的面积等于菱形BCDE面积的2倍时.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，在平面直角坐标系中，菱形BCDE的一边BC平行于x轴，点D在第一象限，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，并经过点E，且点B是AE的中点，店D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上．
（1）求点B和点D的坐标；
（2）若点F是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上的动点，当△FBC的面积等于菱形BCDE面积的2倍时，求点F的坐标；
（3）若点Q是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上的点（不与点D重合），点P是直线y=$\frac{3}{4}$x+3上的点，当B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的横坐标．

分析（1）通过一次函数解析式易得B（0，3）和A（-4，0），再利用点A与点E关于点B中心对称得到E（4，6），则根据两点间的距离公式计算出BE=5，然后根据菱形的性质得到∴DE=BE=5，BC∥DE，然后写出D点坐标；
（2）先确定反比例函数解析式为y=$\frac{54}{x}$，再计算菱形的面积得到△FBC的面积等于30，设F（x，y），讨论：当点F在第一象限时，根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•5•（y-3）=30，解得y=15，则计算对应的反比例函数值得到此时F点的坐标；当点F在第三象限时，利用同样方法得到F点的坐标；
（3）设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），利用平行四边形的性质得PQ∥BC，PQ=BC=5，则Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）或（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），讨论：当Q点坐标为（t-5，$\frac{3}{4}$t+3），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到（t-5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，当Q点坐标为（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），同样得到（t+5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，然后分别解方程求出t的值，从而得到满足条件的Q点的横坐标．

解答解：（1）当x=0时，y=$\frac{3}{4}$x+3=3，则B（0，3），
当y=0时，$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=-4，则A（-4，0），
∵点B是AE的中点，
∴点A与点E关于点B中心对称，
∴E（4，6），
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+（6-3）^{2}}$=5，
∵四边形BCDE为菱形，
∴DE=BE=5，BC∥DE，
∵BC平行于x轴，
∴DE∥x轴，
∴D（9，6）；
（2）把D（9，6）代入y=$\frac{k}{x}$得k=9×6=54，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{54}{x}$，
∵菱形BCDE的面积=5×3=15，
∵△FBC的面积等于菱形BCDE面积的2倍，
∴△FBC的面积等于30，
设F（x，y），
当点F在第一象限时，
∴$\frac{1}{2}$•5•（y-3）=30，解得y=15，
当y=15时，$\frac{54}{x}$=15，解得x=$\frac{18}{5}$，此时F点的坐标为（$\frac{18}{5}$，15）；
当点F在第三象限时，
∴$\frac{1}{2}$•5•（3-y）=30，解得y=-9，
当y=-9时，$\frac{54}{x}$=-9，解得x=-6，此时F点的坐标为（-6，-9）；
综上所述，点F的坐标为（$\frac{18}{5}$，15）或（-6，-9）；
（3）设P（t，$\frac{3}{4}$t+3），
∵B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥BC，PQ=BC=5，
∴Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）或（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），
当Q点坐标为（t-5，$\frac{3}{4}$t+3），
把Q（t-5，$\frac{3}{4}$t+3）代入y=$\frac{54}{x}$得（t-5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，
整理得t²-t-92=0，解得t₁=$\frac{1+\sqrt{329}}{2}$，t₂=$\frac{1-\sqrt{329}}{2}$，
此时Q点的横坐标为$\frac{-9+\sqrt{329}}{2}$或$\frac{-9-\sqrt{329}}{2}$；
当Q点坐标为（t+5，$\frac{3}{4}$t+3），
把Q（t+5，$\frac{3}{4}$t+3）代入y=$\frac{54}{x}$得（t+5）•（$\frac{3}{4}$t+3）=54，
整理得t²+4t-52=0，解得t₁=4（舍去），t₂=-13，
此时Q点的横坐标为-8，
综上所述，点Q的横坐标为$\frac{-9+\sqrt{329}}{2}$或$\frac{-9-\sqrt{329}}{2}$或-8．

点评本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和平行四边形的性质；会求一次函数与坐标的交点坐标和解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

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