题目内容

某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i= $数学公式$ ，且O、A、D在同一条直线上．
求：（1）楼房OB的高度；
（2）小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均不取近似值）

解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200．
∵tan60°= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴OB= $\text{[math]}$ OA=200 $\text{[math]}$ （m）．

（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．
则OE=CH，EC=OH．
根据题意，知i= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
可设CH=x，AH=2x．
在Rt△BEC中，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
即OB-OE=OA+AH．
∴200 $\text{[math]}$ -x=200+2x．
解得x= $\text{[math]}$ ．
在Rt△ACH中，
∵AC²=AH²+CH²，
∴AC²=（2x）²+x²=5x²．
∴AC= $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ [或 $\text{[math]}$ ]（m）．
答：高楼OB的高度为200 $\text{[math]}$ m，小玲在山坡上走过的距离AC为 $\text{[math]}$ m．
分析：（1）由在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200，则可得tan60°= $\text{[math]}$ ，则利用正切函数的知识即可求得答案；
（2）首先过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H，由题意可知i= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后设CH=x，AH=2，在Rt△BEC中，∠BCE=45°，利用直角三角形的性质，即可得方程：200 $\text{[math]}$ -x=200+2x，由在Rt△ACH中，利用勾股定理即可求得答案．
点评：本题考查仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题．此题难度适中，解题的关键是要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．