Question

一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x²+2mx+1-2m=0的两根，求此三角形的周长．

Answer 1

分析：由于一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x²+2mx+1-2m=0的两根，有两种情况：
①当腰长为4时，直接把x=4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，也就可以求出三角形的周长；
②当底边为4时，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的两根是相等的，利用判别式为0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，也就可以求出三角形的周长．

解答：解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是关于x的方程x²+2mx+1-2m=0的两根，
①当腰长为4时，把x=4代入原方程得
16+8m+1-2m=0，
∴m=-

17

6

，
∴原方程变为：x²-

17

3

x+

20

3

=0，
设方程的另一个根为x，
则4+x=

17

3

，
∴x=

5

3

，
∴三角形的周长为：4+4+

5

3

=

29

3

；
②当底边为4时，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的两根是相等的，
∴△=（2m）²-4（1-2m）=0，
∴m=-1+

2

或m=-1-

2

，
但是m=-1-

2

时方程的根为负数，而方程的根是线段长度，不能为负，
∴m=-1+

2

，
∴方程变为x²+2（-1-

2

）x+1-2（-1+

2

）=0，
∴方程的两根相等为x₁=x₂=

2

+1，
∴三角形的周长为4+2（

2

+1）=6+2

2

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的解的定义和等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．