Question

 如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．

（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；

（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；

（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

Answer 1

（1）证明：在正方形中，

无论点运动到上何处时，都有

=  ∠=∠  =                  

         ∴△≌△

(2)解：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作⊥于,⊥于，则 =        

==

     ∴=

由△ ∽△得        解得

∴时，△的面积是正方形面积的  

（3）若△是等腰三角形，则有 =或=或=

①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知  =

       此时△是等腰三角形

      ②当点与点重合时，点与点也重合，

此时=, △是等腰三角形              

③解：如图，设点在边上运动到时，有=

∵ ∥       ∴∠=∠     

又∵∠=∠  ∠=∠

∴∠=∠

∴ ==

∵=    =  =4

∴

即当时，△是等腰三角形