Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足 +|OA﹣1|=0

（1）求点A，点B的坐标．
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ +|OA﹣1|=0

∴OA﹣1=0、OB2﹣3=0，

∴OA=1、OB= ，

∴点A的坐标为（1，0）、B的坐标（0， ）

（2）解：∵C（﹣3，0），B（0， ）；

∴OC=3，OB=

在RT△BOC中，BC= =2 ，

设点A到直线CB的距离为y，则

×2 y= ×（3+1）× ，

解得y=2．

则S= ×|2 ﹣t|×2=|2 ﹣t|．

故S与t的函数关系式为：S=﹣t+2 （0≤t≤2 ）或S=t﹣2 （t＞2 ）

（3）解：存在，

理由：∵tan∠OBC= = = ，

∴∠OBC=60°，

∴∠BCO=30°，

∴BC=2OB=2 ，

∵tan∠OBA= = = ，

∴∠OBA=30°，

∴∠ABC=90°，AB=2OA=2，

①当0≤t≤2 时，若△PBA∽△AOB时，则 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（﹣1， ）；

若△ABP∽△AOB时，则 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（﹣3，0），

②当t＞2 时，若△PBA∽△AOB时，则 = ，

即 = ，

∴PB= ，

∴PBsin60°= × =1，PBcos60°= × = ，

∴P（1， ）；

若△ABP∽△AOB时，则 = ，

即 = ，

∴PB=2 ，

∴PBsin60°=2 × =3，PBcos60°=2 × = ，

∴P（3，2 ），

所以，存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，P点的坐标为（﹣1， ）或（﹣3，0）或（1， ）或（3，2 ）．

【解析】（1）根据非负数的性质得到OA、OB的长，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据勾股定理得到CB的长度，再根据三角形面积公式即可得到点A到直线CB的距离；再根据的面积公式，即可求出S与t的函数关系式．
（3）先求得∠ABC=90°，然后分两种情况讨论即可求得点P的坐标．