Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．
（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圆的半径，即可得出P点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），
∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3），
将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），得：
3=3a，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6
∴AC×BC=6，
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，
∴二次函数对称轴为x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B点坐标为：（2，4），
一次函数解析式为：y=kx+b，
∴，
解得：，
y=x+；
当点B在x轴下方，
∵抛物线的对称轴和x轴围成的面积为6，
∴B′C=4，
∴B′（2，-4），
∴，
∴
可得：y=-x-；


（3）过点P作FP⊥AB，设半径PC=PF=r，当点B在x轴上面时，
∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，即=∴r=1.5，
∵B点坐标为：（2，4），
∴P点坐标为：（2，1.5），
如图2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴=，
即=，
∴r=6，
∴P点坐标为：（2，-6），
当点B在x轴的下面，同理可得出P点坐标为：（2，-1.5）和（2，6），
∴P点坐标有4种情况：（2，-1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，-6）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．