Question

将37拆成若干个不同质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的哪些质数相乘，所得的最小乘积是多少？

Answer 1

分析：列举将37拆成若干个不同的质数之和的式子，关键要把握好不重不漏，为此要选择一种顺序．我们首先将小于37的质数，由小到大排列出来：
（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，
利用2+3+5+7+11＜37，而2+3+5+7+11+13＞37．因此最多拆成5个不同质数之和．但由于37是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，即可得出最多拆成4个不同质数之和，为此，依照被拆出的最大质数从大到小依次研究，进而得出答案即可．

解答：解：首先将小于37的质数，由小到大排列出来：
（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，
由于2+3+5+7+11＜37，而2+3+5+7+11+13＞37．因此最多拆成5个不同质数之和．但由于37是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，否则其余4个奇质数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不可能等于奇数37，而3+5+7+11+13=39＞37．因此最多拆成4个不同质数之和，为此，我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究：
（1）37=31+6（6不能用2，3，5相加得到）；
（2）①37=29+8=29+5+3，只有一种拆法；
（3）37=23+14 共有两种拆法，
②37=23+11+3；③37=23+7+5+2；
（4）37=19+18，而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2，所以共有四种拆法，
④37=19+13+5；⑤37=19+13+3+2；⑥37=19+11+7；⑦37=19+11+5+2；
（5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，所以有三种拆法，
⑧37=17+13+7；⑨37=17+13+5+2；⑩37=17+11+7+2．
综合以上可以得到10种不同的拆法，
将37拆成若干个不同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能小，则可以把37分成：
37=29+5+3，它们的积为其中最小乘积的是：29×5×3=435．

点评：此题主要考查了质数的性质以及数的整除性，根据题干分析数字特点，从而找出各种数字组合，然后找出最适合的一种是解题关键．