Question

如图一个直角三角形PQR的直角顶点为Q，以其三边为直径作三个半圆，矩形STUV的各边与半圆相切且平行于PQ或者QR．如果PQ=6厘米，QR=8厘米，则STUV的面积是多少平方厘米？

Answer 1

分析：首先取PR的中点O，过点O作MN∥ST，EF∥SV，由题意可得MN⊥SV、MN⊥TU、EF⊥ST、EF⊥VU；EL、KN、OM、OF分别是各半圆的半径，OL和OK是△ABC的中位线，又由在Rt△PQR中，PQ=6厘米，QR=8厘米，即可求得各个线段的长，继而求得答案．

解答：解：取PR的中点O，过点O作MN∥ST，EF∥SV，

∵四边形STUV是矩形，
∴SV∥EF∥TU，ST∥MN∥UV，∠S=∠V=90°，
∴MN⊥SV、MN⊥TU、EF⊥ST、EF⊥VU，
∵PQ∥ST，QR∥TU，
∴PQ∥MN∥VU，QR∥EF∥TU，
∴PL=QL，QK=RK，
∴OL=

1

2

QR=

1

2

×8=4，OK=

1

2

PQ=

1

2

×6=3厘米，
∵矩形STUV的各边分别与半圆相切，
∴EL=

1

2

PQ=

1

2

×6=3，KN=

1

2

QR=

1

2

×8=4厘米，
在Rt△PQR中，PR=

62+82

=10厘米，
∴OM=OF=

1

2

×PR=5厘米，
∴SV=FU=EF=EL+OL+OF=3+4+5=12厘米，ST=UV=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12厘米，
∴S_矩形STUV=12×12=144平方厘米．

点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．