题目内容

（2013•秀洲区二模）如图①，平面直角坐标系中，直线y=
3
3
x+3分别交x轴、y轴于点A、B，OC⊥AB于点C，D是AB的中点．动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动．设点P的运动时间为t秒，当点P到达O点时P、Q同时停止运动．
（1）求OD的长；
（2）当点P在AD上运动时，设△DPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）如图②，当点P在DO上、点Q在OB上运动时，PQ与OC交于点E，当t为何值时，△OPE为等腰三角形？
分析：（1））根据直线y=
3
3
x+3交x轴于点A、y轴于B，求出A与B点的坐标，得出AB的值，再根据D是AB的中点，即可求出OD的值；
（2）先过Q作QE⊥AB于E，根据OC⊥AB于点C，得出
QE
OC
=
DQ
DO
，AB•OC=AO•BO，求出OC的值，再根据DP=AD-AP=3-t，DQ=t，得出QE的值，再根据S△DPQ=
1
2
DP•QE=-
3
4
t2+
3
3
4
t，即可得出S的最大值；
（3）当PE=OE时，PQ∥OA，得出t-3=
1
2
（6-t），求出t的值；当OP=OE时，根据∠COD=30°，求出∠PQO=45°，过P作PF⊥OB，得出PF=QF，根据PF=cos30°×OP=
3
2
（6-t），QF=t-3-
1
2
（6-t），得出t-3-
1
2
（6-t）=
3
2
（6-t），求出t的值；当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，得出PE∥OB，此时△POE不存在，从而求出t=4或t=3+
3
时，△OPE为等腰三角形．
解答：解：（1）∵直线y=
3
3
x+3交x轴于x轴、y轴于点A、B，
∴A点的坐标是（-3
3
，0），B点的坐标是（0，3），
∴AB=6，
∵D是AB的中点，
∴OD=3；

（2）过Q作QE⊥AB于E，如图，
∵OC⊥AB于点C，
∴
QE
OC
=
DQ
DO
，AB•OC=AO•BO，
∴6OC=3
3
×3，
∴OC=
3
3
2
，
∵动点P从A出发沿折线AD→DO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，
动点Q从点D出发沿折线DO→OB方向以相同的速度运动，
∴DP=AD-AP=3-t，DQ=t，
∴
QE
3
3
2
=
t
3
，
∴QE=
3
2
t，
∴S△DPQ=
1
2
DP•QE=
1
2
（3-t）×
3
2
t=-
3
4
t2+
3
3
4
t，
∵0＜t≤3，
当t=
3
2
时，S的最大值=
9
3
16
；

（3）当PE=OE时，PQ∥OA，
∴OQ=
1
2
OP，即t-3=
1
2
（6-t），
∴t=4，
当OP=OE时，
∵∠COD=30°，
∴∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
过P作PF⊥OB，
∴PF=QF，
∵PF=cos30°×OP=
3
2
（6-t），
QF=t-3-
1
2
（6-t），
∴t-3-
1
2
（6-t）=
3
2
（6-t），
∴t=3+
3
，
当PO=PE时，得∠POE=∠PEO=30°，
则PE∥OB，
此时△POE不存在，
所以此情况不成立，
综上当t=4或t=3+
3
，△OPE为等腰三角形．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是直角三角形和等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定与性质，关键是根据题意画出图形，要注意把三种情况全部画出．
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