Question

如图（1）所示，正比例函数y=kx与反比例函数y=

t

x

的图象交于点A（-3，2）．


（1）试确定上述正比例函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，在第二象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）如图（2）所示，P（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中-3＜m＜0，过点P作直线PB∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AD∥y轴，交x轴于点D，交直线PB于点C．当四边形OACP的面积为6时，请判断线段BP与CP的大小关系，并说明理由．
（4）在第（3）问条件中，连接AP，若∠PAO=90°，试求分式m²+

16

m2

的值．

Answer 1

分析：（1）把A的坐标代入解析式求出k、t即可；
（2）画出图象，根据图象，当x取相同的数时y的值即可求出答案；
（3）求出mn的值，根据三角形的面积公式得到3n-

1

2

×3×2-

1

2

×（-mn）=6，求出m、n的值，求出BP、CP的值即可；
（4）根据∠PAO=90°，得出△CAP∽△DOA，再利用比例的性质得出m的值，进而求出分式m²+

16

m2

的值．

解答：解：（1）把A（-3，2）代入y=kx得：2=-3k，
解得：k=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x，
代入y=

t

x

得：t=-6，
∴y=-

6

x

．
答：正比例函数与反比例函数的解析式分别是y=-

2

3

x，y=-

6

x

．

（2）∵A（-3，2），
由图象可知：当-3＜x＜0时，在第二象限内，反比例函数的值大于正比例函数的值．

（3）答：线段BP与CP的大小关系是BP=CP，
理由是：∵P（m，n）在y=-

6

x

上，
∴mn=-6，
∵DO=3，AD=2，OB=n，BP=-m，CP=3-PB，DC=n，
四边形OACP的面积为6，
∴S_矩形CDOB-S_△ADO-S_△OBP=6，
3n-

1

2

×3×2-

1

2

×（-mn）=6，
3n-3-

1

2

×6=6，
3n=12，
解得：n=4，
∴m=-

6

4

=-

3

2

，
∴P（-

3

2

，4），
∴PB=

3

2

，CP=3-

3

2

=

3

2

，
∴BP=CP．

（4）∵P（m，n），P点在y=-

6

x

图象上，
∴mn=-6，
∴n=-

6

m

，
∵∠PAO=90°，
∴∠CAP+∠DAO=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AOD=∠CAP，
又∵∠C=∠ADO=90°，
∴△CAP∽△DOA，
∴

AD

CP

=

DO

AC

，
∴

2

3+m

=

3

- 6 m -2

，
解得：m₁=-3（不合题意舍去），m₂=-

4

3

，
∴m²+

16

m2

=（-

4

3

）²+

16

(- 4 3 )2

=

97

9

．

点评：本题主要考查了待定系数法求出正比例函数、反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积、相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．